À quoi sert la courbe représentative de x(t)?
Pour beaucoup de gens, se retrouver face à une courbe, c'est un peu comme aller chez le dentiste : cela fait naître un vague sentiment d'inquiétude avec l'envie d'en finir au plus vite. Pourtant, les représentations graphiques de la position en fonction du temps sont un moyen efficace pour visualiser un grand nombre d'informations concernant le mouvement d'un objet.
Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de x(t) ?
L'axe vertical représente la position d'un objet. Grâce à la courbe ci-dessous, on peut par exemple déterminer pour chaque instant (valeurs notées sous l'axe horizontal, en secondes) la position de l'objet considéré (valeurs notées à gauche de l'axe vertical, en mètres).
Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour choisir différents instants et ainsi voir comment la position évolue.
Application : Quelle est la position de l'objet à l'instant
La réponse est 2 mètres. En effet, lorsqu'on déplace le point vert jusqu'à l'instant
Que représente la pente de la courbe représentative de x(t) ?
La pente de la courbe représentative de x(t) correspond à la vitesse algébrique de l'objet. La valeur de cette pente est donc la valeur de la vitesse algébrique de l'objet à un instant donné.
Pour mieux comprendre, on considère la courbe représentative de x(t) suivante :
Il est vrai qu'en mathématiques, l'axe vertical (variable dépendante) s'appelle usuellement
En revanche, en physique, le temps
Cela peut paraître un peu étrange de voir le déplacement horizontal
La pente de cette courbe est définie comme suit :
Cette expression de la pente est la même que celle de la vitesse algébrique :
Cela est aussi vrai lorsque la pente de la courbe donnant x(t) varie. Sur l'exemple suivant, le trait rouge montre la pente à un instant donné. Il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour suivre l'évolution de la pente selon l'instant considéré.
La pente de la courbe entre les instants
La pente de la courbe entre les instants
La pente de la courbe est nulle à l'instant
Application : que vaut la vitesse algébrique de l'objet à l'instant
La vitesse algébrique de l'objet à l'instant
La vitesse algébrique peut être instantanée ou moyenne. Il est important de noter que la pente de la courbe représentative de x(t) à un instant donné correspond à la vitesse algébrique instantanée. En revanche, la pente moyenne entre deux instants correspond à la vitesse algébrique moyenne entre ces deux instants. La vitesse algébrique instantanée n'est pas forcément égale à la vitesse algébrique moyenne. Par contre, si la pente est constante sur une certaine durée (c'est-à-dire si la courbe est un segment de droite sur cet intervalle de temps), alors la vitesse algébrique instantanée est égale à la vitesse algébrique moyenne entre deux points appartenant à ce segment de droite.
La pente est constante sur un segment de droite car si elle ne l'était pas, la courbe ne serait pas droite mais courbée. Puisque la pente est constante, de même valeur pour chaque point, on obtient la même valeur de pente lorsqu'on moyenne les pentes sur l'ensemble de ces points.
Autrement dit, la valeur moyenne des pentes :
À quoi correspond la courbure de la courbe représentative de x(t) ?
On peut dire que la représentation graphique donnée ci-dessous est courbée dans la mesure où elle n'est pas faite que de segments de droite. Cela signifie que la pente varie et donc que la vitesse algébrique varie elle aussi. Lorsque la vitesse algébrique varie, il y a une accélération. Par conséquent, si la courbe représentative de x(t) est incurvée, c'est que l'objet accélère, ou encore que sa vitesse algébrique varie.
Il est possible de visualiser les changements de pente sur la courbe ci-dessous en faisant glisser le point vert horizontalement. La première bosse, entre
Application : que vaut l'accélération de l'objet à l'instant
Puisque la pente est globalement constante, sans variation, autour de
Pour visualiser cela, on peut bouger le point vert d'environ
Pour résumer, si la courbe représentative de x(t) ressemble à un bol à l'envers, l'accélération est négative. Et si elle ressemble à un bol à l'endroit, l'accélération est positive. Voici un moyen pour s'en souvenir: lorsque le bol est à l'envers, toute la nourriture qu'il contient tombe, ce qui est plutôt négatif. En revanche, lorsqu'il est à l'endroit, la nourriture y reste, ce qui est plutôt positif.
Non, malheureusem*nt. Une courbe en forme de bol à l'envers signifie juste que l'accélération est négative, mais pas forcément que l'objet ralentit.
En ce qui concerne la première bosse de la courbe ci-dessus, la vitesse algébrique est d'abord positive à
Les deux côtés du bol à l'envers représentent une accélération négative, en revanche le côté gauche montre un ralentissem*nt alors que le côté droit montre une accélération.
Une autre façon de voir les choses est la suivante: l'objet ralentit lorsque la courbe devient moins pentue, et il accélère lorsqu'elle devient plus pentue.
Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de x(t) :
Exemple 1 : Le morse qui avait faim
Un morse se déplace horizontalement et fait des va-et-vient cherchant de la nourriture. Son mouvement est décrit ci-dessous par la représentation graphique de sa position horizontale
Que vaut la vitesse algébrique instantanée aux instants suivants:
Vitesse algébrique à
On détermine la vitesse algébrique du morse à l'instant
On choisit ensuite deux points faciles à repérer le long du segment de droite considéré. On prend par exemple les points
La vitesse algébrique du morse à
Vitesse algébrique à
Pour déterminer la vitesse algébrique à
Vitesse algébrique à
On choisit les points des extrémités du segment de droite, à savoir les points
La vitesse algébrique du morse à
Exemple 2 : Vol d'un oiseau
La courbe ci-dessous montre le mouvement d'un oiseau, volant vers le bas puis vers le haut, dont le mouvement est représenté par sa position verticale
Quelle est la vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants
Quelle est la vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants
Vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants
Pour déterminer la vitesse algébrique moyenne entre les instants
Les deux extrémités de la courbe correspondent au point de départ
La vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants
Si, c'est exactement ce qu'on fait en déterminant la pente moyenne. La vitesse algébrique moyenne étant par définition le déplacement par unité de temps, on aurait pu calculer d'abord le déplacement :
Ensuite, on aurait pu diviser ce résultat par l'intervalle de temps pour obtenir la vitesse algébrique moyenne :
On obtient la même valeur pour la vitesse algébrique moyenne, quelle que soit la méthode.
Vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants
Par définition, la vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par l'intervalle de temps. Pour déterminer la distance parcourue, il suffit d'additionner les longueurs des différents déplacements du trajet. Entre les instants
On divise maintenant ce résultat par l'intervalle de temps pour obtenir la vitesse moyenne
La vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants
